数学検定準1級の問題の解説 #3

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数学検定準1級の問題の解説を行うシリーズです。基礎的なトピックの確認を行うのが主目的のため、1次試験を中心に取り扱います。問題と解答は下記です。

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_que_1ji.pdf

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_ans_1ji.pdf

#1では問題1〜2について、#2では問題3〜4についてそれぞれ取り扱いました。

#3では問題5〜7について取り扱います。

以下、問題5〜7についてそれぞれ確認を行います。

・問題5
① 不定積分 $\displaystyle \int \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} dx$ を求めよ
② 定積分 $\displaystyle \int_{0}^{2} \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} dx$ を求めよ

Answer.
同じ関数について取り扱っているので、①が解ければ②は①で導出した関数を $F(x)$ とした際の $F(2)-F(0)$ とすることで解ける。①の積分にあたっては、部分積分の考え方を用いる。
$\displaystyle \int \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} dx$
　　 $\displaystyle = 2\int \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\left(e^{\frac{x}{2}}\right)' dx$
　　 $\displaystyle = 2\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} - 2\int \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)'e^{\frac{x}{2}} dx$
　　 $\displaystyle = 2\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} - 4\int (x+3)\left(e^{\frac{x}{2}}\right)' dx$
　　 $\displaystyle = (x^2+6x)e^{\frac{x}{2}} - 4(x+3)e^{\frac{x}{2}} + 4\int (x+3)'e^{\frac{x}{2}} dx$
　　 $\displaystyle = (x^2+6x)e^{\frac{x}{2}} - 4(x+3)e^{\frac{x}{2}} + 8\int \left(e^{\frac{x}{2}}\right)' dx$
　　 $\displaystyle = (x^2+6x)e^{\frac{x}{2}} - 4(x+3)e^{\frac{x}{2}} + 8e^{\frac{x}{2}} + C$
　　 $\displaystyle = (x^2+6x-4x-12+8)e^{\frac{x}{2}} + C$
　　 $\displaystyle = (x^2+2x-4)e^{\frac{x}{2}} + C$
①の不定積分は上記より、 $\displaystyle \int \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} dx = (x^2+2x-4)e^{\frac{x}{2}} + C$ となる。
また、これより②は
$\displaystyle \int_{0}^{2} \left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{\frac{x}{2}} dx$
　　 $\displaystyle = \left[ (x^2+2x-4)e^{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{2}$
　　 $\displaystyle = (2^2+2\times2-4)e^{\frac{2}{2}} - (0^2+2\times0-4)e^{\frac{0}{2}}$
　　 $\displaystyle = 4(e-1)$
のように計算できる。

解説.
部分積分は積の導関数の公式の $(fg)'=f'g+fg'$ の両辺を積分することで、 $fg=\int f'g dx + \int fg' dx$ となることと比較するとイメージがつきやすいかと思います。
(多項式関数)×(指数関数)のパターンが出題されることが多い印象です。

・問題6
$xy$ 平面上の双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$ の焦点の座標を求めよ。

Answer.
双曲線の方程式 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ において、 $a=6$ 、 $b=8$ としたのがここで与えられている方程式である。
よって焦点の座標は $\displaystyle (0, \pm\sqrt{6^2+8^2}) = (0, \pm 10)$ となる。

解説.
楕円の方程式 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ や双曲線の方程式 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1$ は抑えておくと良いかと思います。

・問題7
次の極限の値を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{x^{1/3}-1}$

Answer.
$x \to 1$ の際に、 $x^2+2x-3 \to 0$ 、 $x^{1/3}-1 \to 0$ であるので、 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{x^{1/3}-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x^{1/3}-1}$ は $\displaystyle \frac{0}{0}$ の不定形となる。この不定形は $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$ の因数分解の利用を用いることで解消できる。

よって元の数式の分子と分母にそれぞれ $\displaystyle x^{2/3}+x^{1/3}+1$ をかけて不定形を解消させる。
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{x^{1/3}-1}$
　　 $\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+2x-3)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}{(x^{1/3}-1)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}{(x^{3/3}-1)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}{(x-1)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{x \to 1} (x+3)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)$
　　 $\displaystyle = (1+3)(1+1+1)$
　　 $\displaystyle = 4 \times 3$
　　 $\displaystyle = 12$