数学検定準1級の問題の解説 #2

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数学検定準1級の問題の解説を行うシリーズです。基礎的なトピックの確認を行うのが主目的のため、1次試験を中心に取り扱います。問題と解答は下記です。

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_que_1ji.pdf

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_ans_1ji.pdf

#1では問題1〜2について取り扱いました。

#2では問題3〜4について取り扱います。

以下、問題3〜4についてそれぞれ確認を行います。
・問題3
3つの単位ベクトル $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ が $\displaystyle 2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}=\vec{0}$ を満たすとき、 $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{c}$ を求めよ。

Answer.
$\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ が単位ベクトルであることから、 $\displaystyle |\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=1$ を満たすことを利用する。 $\displaystyle 2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}=\vec{0}$ の両辺に対して $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ との内積を取ることで、下記の3つの式が得られる。
・ $\displaystyle 2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ (1)
・ $\displaystyle 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3 + 4\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ (2)
・ $\displaystyle 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 3\vec{b} \cdot \vec{c} + 4 = 0$ (3)
上記において、(1)式と(3)式を元に $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$ と $\displaystyle \vec{b} \cdot \vec{c}$ を $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{c}$ の式で表し、(2)式に代入して整理をすることで、 $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{11}{16}$ が得られる。

解説.
なかなか計算が複雑な問題ですが、ベクトル $\displaystyle \vec{a}$ , $\displaystyle \vec{b}$ , $\displaystyle \vec{c}$ が単位ベクトルであることを利用すると解答のように解くことができます。
計算は大変ですが、ある程度は慣れておく方が難しい書籍などを読む際にも役に立つのではと思います。

・問題4
複素数 $z=-2-i$ について下記の問いに答えよ。（ $i$ は虚数単位）
① $z$ の絶対値を求めよ
② $z$ の偏角を $\theta$ としたとき、 $\sin{4 \theta}$ を求めよ。

Answer.
① $\displaystyle \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$
② ①の解答と $z$ の偏角を $\theta$ としたことより、 $\displaystyle z = \sqrt{5}(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ のようにできる。
　　ド・モアブルの定理より、 $\displaystyle z^4 = (-2-i)^4 = \sqrt{5}^4(\cos4{\theta}+i\sin4{\theta})$ が成立する。 $(-2-i)^4=-7+24i$ より、 $\displaystyle \sin{4 \theta}=\frac{24}{25}$ となる。