指数関数の微分|基本関数の微分の公式を定義から導出する #1

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微積分は数Ⅱ数Ⅲにおける重要なトピックですが、定義からの導出が比較的容易な数Ⅱの微分に対して、数Ⅲの微分はなかなか複雑です。そこで当シリーズでは基本関数の微分の公式を定義から導出を行えればと思います。
基本的には指数関数、対数関数、三角関数などを取り扱えればと思います。#1では指数関数の微分について取り扱います。

以下、目次になります。
1. f(x)=e^x微分の導出
2. f(x)=a^x微分の導出
3. まとめ


1. f(x)=e^x微分の導出
1節ではf(x)=e^x微分の導出について取り扱います。

基本的な方針は上記の1節のeオイラーによる定義と類似の変形を行います。まず準備として、f(x)=e^xとした上で、微分の定義式に基づいて導関数を考えます。

\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to +0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-h} = \lim_{h \to +0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}

上記の分子において、e^{x+h}-e^x = e^x(e^h-1)が成立し、e^xhと関係ないことから下記のように変形できます。

\displaystyle f'(x) = e^x \lim_{h \to +0} \frac{e^h-1}{h}   (1)

(e^x)'=e^xなので、\displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{e^h-1}{h} = 1を示すのが以下での目標になります。(オイラーの定義ではeがこの式を満たすように設定するとされますが、ここでは\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = eのみを用いることができるとします。
また、\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = eにおいて\displaystyle n_{inv} = \frac{1}{n}とすることで、

\displaystyle \lim_{n_{inv} \to +0} (1 + n_{inv})^{\frac{1}{n_{inv}}} = e    (2)

を導出することもできます。

さて、(1)式だけだとわかりにくいため、k=e^h-1となるkを導入し、以後変形を行います(ここでh \to +0のとき、k \to e^0-1 = +0となります)。また、k=e^h-1hについて解くとh=\log(k+1)のようになります。
ここまでの議論により、(1)の分子をe^h-1=k、分母をh=\log(k+1)で置き換えると下記のようになります。

\displaystyle \frac{e^h-1}{h} = \frac{k}{\log(k+1)}
  \displaystyle = \frac{1}{\frac{1}{k}\log(k+1)}
  \displaystyle = \frac{1}{\log(1+k)^{\frac{1}{k}}}

ここで\displaystyle \lim_{k \to +0} \log(1+k)^{\frac{1}{k}}は(2)式と同じ式のため、値はeになります。よって\displaystyle \lim_{k \to +0} \frac{1}{\log(1+k)^{\frac{1}{k}}} = \frac{1}{\log{e}} = 1が計算できます。

ここまでの議論により、\displaystyle f'(x) = e^xが成立することがわかります。

 

2. f(x)=a^x微分の導出
2節ではf(x)=a^x微分の導出について確認します。基本的にはa^x=e^{\log_e{a}x}とできることより導出します。
合成関数の微分を利用することで、(e^{\log_e{a}x})'は下記のように導出できます。

(e^{\log_e{a}x})' = \log_e{a}e^{\log_e{a}x} = a^{x} \log_e{a}

よって、(a^x)' = a^{x} \log_e{a}が導出できます。

1節と同様に\displaystyle a^x \lim_{h \to +0} \frac{a^h-1}{h}のように変形し、\displaystyle \lim_{h \to +0} \frac{a^h-1}{h} = \log_e{a}を導出することによって(a^x)' = a^{x} \log_e{a}を導出することもできます。


3. まとめ
#1では指数関数の定義に基づく微分について確認しました。
#2では同様に対数関数の定義に基づく微分について確認します。