放物線の方程式とその導出｜式と曲線を把握する #2

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数学Cなどで取り扱われる「式と曲線」を中心に取り扱うシリーズです。
#1では「楕円」の方程式とその導出について取り扱いました。

#2では「放物線」の方程式とその導出について取り扱います。主に下記を参考に進めます。

以下当記事の目次になります。
1. 放物線の方程式とその概要
2. 放物線の方程式の導出
3. まとめ

1. 放物線の方程式とその概要
1節では「放物線」の方程式とその概要に関して確認します。まずは放物線の方程式について確認します。

$x^2 = 4cy$ ①
$y^2 = 4cx$ ②

上記が放物線の方程式です。ここで二次関数を表す $y=ax^2$ は①の両辺を $4c$ で割った $\displaystyle y = \frac{1}{4c}x^2$ に対して、 $\displaystyle a = \frac{1}{4c}$ で置き換えることで $y=ax^2$ を導出できます。
二次関数に関する理解より放物線のグラフのイメージはつくと思いますので、放物線の定義からの導出について確認するのが当記事の主目的となります。導出について詳しくは2節で取り扱いますが、放物線の定義は「ある直線（準線）への距離とその直線上にない点（焦点）への距離とが等しい点の集合」というのは抑えることとします。

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図にすると上記のようなイメージです。
放物線の方程式と大まかな概要についてつかめたので1節はここまでとします。

2. 放物線の方程式の導出
2節では放物線の方程式の導出について確認します。1節でも取り扱いましたが、放物線の定義は「ある直線（準線）への距離とその直線上にない点（焦点）への距離とが等しい点の集合」です。以下、焦点を $(0,c)$ 、 $y=-c$ とおき、放物線の方程式 $x^2 = 4cy$ を導出します。

まず定義より下記が成立します。
$\displaystyle \sqrt{x^2+(y-c)^2} = y-(-c)$
$\displaystyle \sqrt{x^2+(y-c)^2} = y+c$
次に上記の両辺を二乗します。
$\displaystyle x^2+(y-c)^2 = (y+c)^2$
$\displaystyle x^2+y^2+c^2-2cy = y^2+2cy+c^2$
$\displaystyle x^2-2cy = 2cy$
$\displaystyle x^2 = 4cy$
上記が放物線の方程式に一致します。

$x$ と $y$ を入れ替えて同様に考えることで $y^2 = 4cx$ も導出できます。
1節でも確認しましたが、ここで $\displaystyle a = \frac{1}{4c}$ が成立するので、 $c$ (＞ $0$ )の値が大きくなるにつれて、 $x$ の変化に伴って急激に $y$ が変化する放物線になることは抑えておくと良いかと思います。
ここまでで放物線の方程式が導出できたので2節はここまでとします。

3. まとめ
#2では楕円の方程式とその導出について確認を行いました。
#3では双曲線の方程式と導出について取り扱います。