基本関数の積分①（三角関数の積分）｜様々な積分の計算方法をマスターする #1

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数Ⅱ以降、数多くの分野で用いられる積分ですが、計算が複雑になるとなかなか取り扱いが難しいです。特に置換積分のように発見的な解法が用いられることもあり、ある程度把握しておかないととできない積分なども多い印象です。
そこで当シリーズでは主に数Ⅲ〜大学教養レベルにかけての積分の中から基本トピックではある一方で比較的複雑な積分を取り扱うこととします。具体的には下記などがスムーズに解けるというのを目安に進めたいと思います。

高等学校数学III 積分法/演習問題 - Wikibooks

#1では基本的な三角関数の積分について取り扱います。

以下目次になります。
1. $\sin{x}$ 、 $\cos{x}$ を用いた関数の積分
2. $\tan{x}$ を用いた関数の積分
3. まとめ

1. $\sin{x}$ 、 $\cos{x}$ を用いた関数の積分
1節では $\sin{x}$ 、 $\cos{x}$ の積分について取り扱います。下記を主に参考にします。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

$\sin{x}$ 、 $\cos{x}$ を考えるにあたっては、下記の三角関数に関する微分の逆演算を考えると良いです。

$\displaystyle (\sin{x})' = \cos{x}$
$\displaystyle (\cos{x})' = -\sin{x}$
$\displaystyle (\tan{x})' = \frac{1}{\cos^2{x}}$

上記が成立することを考慮して、下記が導出できます。

$\displaystyle \int \cos{x} dx = \sin{x}+C$
$\displaystyle \int \sin{x} dx = -\cos{x}+C$
$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2{x}} dx = \tan{x}+C$

ここまでで $\sin{x}$ 、 $\cos{x}$ を用いた関数の積分について確認できたので1節はここまでとします。

2. $\tan{x}$ を用いた関数の積分
2節では $\tan{x}$ の積分について取り扱います。下記を主に参考にします。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

$\tan{x}$ の積分は合成関数の微分の逆演算で求めることができると考えておくと良いです。

$\displaystyle \int \tan{x} dx = \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx$
　　 $\displaystyle = \int \frac{-(\cos{x})'}{\cos{x}} dx$
　　 $\displaystyle = -\log{|\cos{x}|}+C$