基本関数の積分②（指数関数・対数関数の積分）｜様々な積分の計算方法をマスターする #2

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当シリーズでは主に数Ⅲ〜大学教養レベルにかけての積分の中から基本トピックではある一方で比較的複雑な積分を取り扱うこととします。具体的には下記などがスムーズに解けるというのを目安に進めます。

高等学校数学III 積分法/演習問題 - Wikibooks

#1では基本的な三角関数の積分について取り扱いました。

#2では指数関数・対数関数の積分について取り扱います。

以下目次になります。
1. 指数関数の積分
2. 対数関数の積分
3. まとめ

1. 指数関数の積分
1節では指数関数の積分について取り扱います。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

主に上記を参考にします。
まずは $e^x$ の積分から確認します。

$\displaystyle \int e^x dx = \int (e^x)' dx$
　　 $\displaystyle = e^x+C$

$e^x$ は上記のように計算できます。

次に $a$ ＞ $0$ である $a^x$ の積分について確認します。 $a=e^{\log_e{a}}$ であることを利用します。

$\displaystyle \int a^x dx = \int e^{\log_{e}a x} dx$
　　 $\displaystyle = \int \left( \frac{1}{\log_e{a}}e^{\log_e{a}x} \right)' dx$
　　 $\displaystyle = \frac{1}{\log_e{a}}\int \left( e^{\log_e{a}x} \right)' dx$
　　 $\displaystyle = \frac{e^{\log_e{a}x}}{\log_e{a}} + C$
　　 $\displaystyle = \frac{a^x}{\log_e{a}} + C$

$a=e^{\log_e{a}}$ のような変換は一見難しそうに見えますが、対数関数の定義からそのまま考えただけでそれほど難しくありません（ $e$ を $\log_e{a}$ 乗すれば $a$ になるというところから対数 $\log_e{a}$ が定義されます）。

指数関数の積分について取り扱えたので1節はここまでとします。

2. 対数関数の積分
2節では対数関数の積分について取り扱います。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

主に上記を参考にします。
以下では $\log{|x|}=\log_e{|x|}$ の積分について確認します。（部分積分が出てくるので詳しくは#3の記事で確認します）

$\displaystyle \int \log{|x|} dx = \int (x)'\log{|x|} dx$
　　 $\displaystyle x\log{|x|} - \int x(\log{|x|})' dx$
　　 $\displaystyle x\log{|x|} - \int x\frac{1}{x} dx$
　　 $\displaystyle x\log{|x|} - \int 1 dx$
　　 $\displaystyle x\log{|x|} - x + C$