和積の変換公式とその導出｜三角関数の公式を完全に理解する #3

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三角関数の公式は数が多く大変なので、まとめて抑えるにあたってなるべくシンプルな導出について取り扱っていくシリーズです。
#1では加法定理とその導出について、#2では倍角の公式・半角の公式について取り扱いました。

#3では和積の変換公式とその導出について取り扱います。
主に下記を参考に進めます。

大学受験数学 三角関数/公式集 - Wikibooks

以下当記事の目次になります。
1. \sin{a} \pm \sin{b}の変換について
2. \cos{a} \pm \cos{b}の変換について
3. まとめ


1. \sin{a} \pm \sin{b}の変換について
1節では\sin{a} \pm \sin{b}の変換について取り扱います。まず、変換公式は下記のように表すことができます。

\displaystyle \sin{a} + \sin{b} = 2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}
\displaystyle \sin{a} - \sin{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}

以下上記の導出を行います。

・\displaystyle \sin{a} + \sin{b} = 2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}の導出について
a+b=x、a-b=yとおくと、\displaystyle a=\frac{x+y}{2}、\displaystyle b=\frac{x-y}{2}と表すことができる。
このとき加法定理により下記のように計算できる。
\displaystyle \sin{a} + \sin{b} = \sin{\frac{x+y}{2}} + \sin{\frac{x-y}{2}}
　　\displaystyle = \left( \sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right) + \left( \sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}-\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right)
　　\displaystyle = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}
　　\displaystyle = 2\sin{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}

・\displaystyle \sin{a} - \sin{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}の導出について
a+b=x、a-b=yとおくと、\displaystyle a=\frac{x+y}{2}、\displaystyle b=\frac{x-y}{2}と表すことができる。
このとき加法定理により下記のように計算できる。
\displaystyle \sin{a} - \sin{b} = \sin{\frac{x+y}{2}} - \sin{\frac{x-y}{2}}
　　\displaystyle = \left( \sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right) - \left( \sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}-\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right)
　　\displaystyle = 2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}}
　　\displaystyle = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}

\sin{a} \pm \sin{b}の変換について取り扱えたので1節はここまでとします。


2. \cos{a} \pm \cos{b}の変換について

2節では\cos{a} \pm \cos{b}の変換について取り扱います。変換公式は下記のように表すことができます。
```
\displaystyle \cos{a} + \cos{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}
\displaystyle \cos{a} - \cos{b} = -2\sin{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}
```
以下上記の導出を行います。

・\displaystyle \cos{a} + \cos{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}の導出について
a+b=x、a-b=yとおくと、\displaystyle a=\frac{x+y}{2}、\displaystyle b=\frac{x-y}{2}と表すことができる。
このとき加法定理により下記のように計算できる。
\displaystyle \cos{a} + \cos{b} = \cos{\frac{x+y}{2}} + \cos{\frac{x-y}{2}}
　　\displaystyle = \left( \cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right) + \left( \cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}+\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right)
　　\displaystyle = 2\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}
　　\displaystyle = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}

・\displaystyle \cos{a} - \cos{b} = -2\sin{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}の導出について
a+b=x、a-b=yとおくと、\displaystyle a=\frac{x+y}{2}、\displaystyle b=\frac{x-y}{2}と表すことができる。
このとき加法定理により下記のように計算できる。
\displaystyle \cos{a} - \cos{b} = \cos{\frac{x+y}{2}} - \cos{\frac{x-y}{2}}
　　\displaystyle = \left( \cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right) - \left( \cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{2}}+\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}} \right)
　　\displaystyle = -2\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{2}}
　　\displaystyle = -2\sin{\frac{a+b}{2}}\sin{\frac{a-b}{2}}

\cos{a} \pm \cos{b}の変換について取り扱えたので2節はここまでとします。


3. まとめ
#3では「和積の変換公式」に関して取り扱いました。
#4では「三倍角の公式」について取り扱います。