基本関数の積分③（部分積分法）｜様々な積分の計算方法をマスターする #3

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当シリーズでは主に数Ⅲ〜大学教養レベルにかけての積分の中から基本トピックではある一方で比較的複雑な積分を取り扱うこととします。具体的には下記などがスムーズに解けるというのを目安に進めます。

高等学校数学III 積分法/演習問題 - Wikibooks

#1では基本的な三角関数の積分について、#2では指数関数・対数関数の積分について取り扱いました。

#3では#2の対数関数の積分でも出てきた部分積分法について取り扱います。下記を参考に進めます。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

以下目次になります。
1. 部分積分法の概要と導出
2. 部分積分法の利用例
3. まとめ

1. 部分積分法の概要と導出
1節では部分積分法の概要と導出について取り扱います。

高等学校数学III/積分法 - Wikibooks

上記を主に参考にします。

まず部分積分法を表す一般的な数式から確認します。

$\displaystyle \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

上記の数式だと具体的なイメージがわかないと思うので簡単な具体例を確認しますが、 $f(x)=x$ 、 $g(x)=\sin{x}$ のように、 $f(x)$ が微分した際に定数となる場合などに部分積分法が活用できます。 $f(x)=x$ 、 $g(x)=\sin{x}$ の場合は $f'(x)g(x)=\sin{x}=g(x)$ となり、#1で取り扱った三角関数の積分の考え方を用いて積分を行うことが可能です。

ここまでで部分積分法の概要がつかめたと思いますので、以下部分積分法の導出について取り扱います。部分積分法の導出にあたっては基本的に「積の導関数」の式から導出します。

$\displaystyle (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
上記の積の導関数の式の両辺を積分します。
$\displaystyle \int (f(x)g(x))' dx = \int (f'(x)g(x)+f(x)g'(x)) dx$
$\displaystyle \int (f(x)g(x))' dx = \int f'(x)g(x) dx + \int f(x)g'(x)) dx$
これを変形することで下記の部分積分法の式が導出できます。
$\displaystyle \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

部分積分法の概要と導出について確認できたので1節はここまでとします。

2. 部分積分法の利用例
2節では部分積分法の利用例について確認します。具体的には下記の例題を解くことで部分積分法を確認します。

1) $\displaystyle \int x\sin{x} dx$
2) $\displaystyle \int xe^x dx$
3) $\displaystyle \int x^2e^x dx$

それぞれの部分積分法を用いた計算結果は下記のようになります。

1) $\displaystyle \int x\sin{x} dx$
$\displaystyle \int x\sin{x} dx = \int x(-\cos{x})' dx$
　　 $\displaystyle = x(-\cos{x}) - \int x'(-\cos{x}) dx$
　　 $\displaystyle = -x\cos{x} + \int \cos{x} dx$
　　 $\displaystyle = -x\cos{x} + \sin{x} +C$

2) $\displaystyle \int xe^x dx$
$\displaystyle \int xe^x dx = \int x(e^x)' dx$
　　 $\displaystyle = x(e^x) - \int x'(e^x) dx$
　　 $\displaystyle = xe^x + \int e^x dx$
　　 $\displaystyle = xe^x + e^x +C$

3) $\displaystyle \int x^2e^x dx$
$\displaystyle \int x^2e^x dx = \int x^2(e^x)' dx$
　　 $\displaystyle = x^2(e^x) - \int (x^2)'(e^x) dx$
　　 $\displaystyle = x^2e^x - \int 2xe^x dx$
　　 $\displaystyle = x^2e^x - 2\int x(e^x)' dx$
　　 $\displaystyle = x^2e^x - 2xe^x + 2\int x'e^x dx$
　　 $\displaystyle = x^2e^x - 2xe^x + 2\int e^x dx$
　　 $\displaystyle = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$
　　 $\displaystyle = (x^2-2x+2)e^x + C$