分数関数の微分｜基本関数の微分の公式を定義から導出する #4

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指数関数、対数関数、三角関数などの微分の公式を定義から導出を行うシリーズです。#1では指数関数の微分、#2では対数関数の微分、#3では三角関数の微分について取り扱いました。

#4では分数関数の微分に関して取り扱いたいと思います。

以下、目次になります。
1. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ の微分の導出
2. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^n}$ の微分の導出
3. まとめ

1. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ の微分の導出
1節では定義に基づいた $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ の微分の導出について取り扱います。

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{(x+h)-x}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x-(x+h)}{hx(x+h)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x-(x+h)}{hx(x+h)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$
　　 $\displaystyle = -\frac{1}{x^2}$

ここまでの議論により、 $\displaystyle \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}$ が導出できます。

2. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^n}$ の微分の導出
2節では定義に基づいた $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^n}$ の微分の導出について取り扱います。

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{(x+h)-x}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{h}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x^n-(x+h)^n}{hx^n(x+h)^n}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{-h({}_n C_1 x^{n-1} + {}_n C_2 x^{n-2}h+...)}{hx^n(x+h)^n}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{-({}_n C_1 x^{n-1} + {}_n C_2 x^{n-2}h+...)}{x^n(x+h)^n}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{-{}_n C_1 x^{n-1} - h({}_n C_2 x^{n-2} + {}_n C_3 x^{n-3}h...)}{x^n(x+h)^n}$
　　 $\displaystyle = \frac{-{}_n C_1 x^{n-1}}{x^{2n}}$
　　 $\displaystyle = \frac{-n x^{n-1}}{x^{2n}}$
　　 $\displaystyle = \frac{-n}{x^{n+1}}$

ここまでの議論により、 $\displaystyle \left( \frac{1}{x^n} \right)' = -\frac{n}{x^{n+1}}$ が導出できます。

また、ここで $\displaystyle \frac{1}{x^n} = x^{-n}$ とみて微分を行うと考えると、 $\displaystyle (x^{-n})' = -nx^{-n-1}$ が成立しており、 $(x^n)' = nx^{n-1}$ と同様に取り扱うことができることを示すこともできます。

3. まとめ
#4では分数関数の定義に基づく微分について確認しました。
#5では平方根関数の定義に基づく微分について確認します。