対数関数の微分｜基本関数の微分の公式を定義から導出する #2

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指数関数、対数関数、三角関数などの微分の公式を定義から導出を行うシリーズです。#1では指数関数の微分について取り扱いました。

#2では対数関数の微分に関して取り扱いたいと思います。

以下、目次になります。
1. f(x)=\log_{e}{x}の微分の導出
2. f(x)=\log_{a}{x}の微分の導出
3. まとめ


1. f(x)=\log_{e}{x}の微分の導出
1節ではf(x)=\log_{e}{x}の微分の導出について確認します。まずは微分の定義式と比較しながら式を確認します。

\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to +0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-h}
　　\displaystyle = \lim_{h \to +0} \frac{\log_{e}{(x+h)}-\log_{e}{x}}{h}
　　\displaystyle = \lim_{h \to +0} \frac{1}{h}\log_{e}\left(\frac{x+h}{x}\right)
　　\displaystyle = \lim_{h \to +0} \frac{1}{h}\log_{e}\left(1+\frac{h}{x}\right)
　　\displaystyle = \lim_{h \to +0} \frac{1}{x}\frac{x}{h}\log{e}\left(1+\frac{h}{x}\right)

上記の数式において\displaystyle k = \frac{x}{h}とすると、\displaystyle \frac{h}{x} = \frac{1}{k}、h \to +0のときk \to \inftyなので下記のように変形できます。

\displaystyle = \lim_{h \to +0} \frac{1}{x}\frac{x}{h}\log_{e}\left(1+\frac{h}{x}\right) = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{x}k\log_{e}\left(1+\frac{1}{k}\right)
　　\displaystyle = \frac{1}{x} \lim_{k \to \infty} \log_{e}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k
　　\displaystyle = \frac{1}{x} \log_{e}{e}
　　\displaystyle = \frac{1}{x}

ここまでの議論より、\displaystyle (\log_{e}{x})' = \frac{1}{x}が成立することがわかります。


2. f(x)=\log_{a}{x}の微分の導出
2節ではf(x)=\log_{a}{x}の微分の導出について確認します。底の変換公式を用いると\log_{a}{x}は下記のように変換できます。

\displaystyle \log_{a}{x} = \frac{\log_{e}{x}}{\log_{e}{a}}

よって、(\log_{a}{x})'は下記のように計算できます。

\displaystyle (\log_{a}{x})' = \left(\frac{\log_{e}{x}}{\log_{e}{a}}\right)'
　　\displaystyle = \frac{1}{\log_{e}{a}}(\log_{e}{x})'
　　\displaystyle = \frac{1}{\log_{e}{a}}\frac{1}{x}
　　\displaystyle = \frac{1}{x\log_{e}{a}}

よって\displaystyle (\log_{a}{x})' = \frac{1}{x\log_{e}{a}}が成立することがわかります。


3. まとめ
#2では対数関数の定義に基づく微分について確認しました。
#3では同様に三角関数の定義に基づく微分について確認します。