平方根関数の微分｜基本関数の微分の公式を定義から導出する #5

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指数関数、対数関数、三角関数などの微分の公式を定義から導出を行うシリーズです。#4では分数関数の微分に関して取り扱いました。

#5では平方根関数の微分に関して取り扱いたいと思います。

以下、目次になります。
1. $f(x)=\sqrt{x}$ の微分の導出
2. $f(x)={}^n\sqrt{x}$ の微分の導出
3. まとめ

1. $f(x)=\sqrt{x}$ の微分の導出
1節では定義に基づいた $f(x)=\sqrt{x}$ の微分の導出について取り扱います。

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
　　 $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$
　　 $\displaystyle = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

ここまでの議論により、 $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ が導出できます。

これは $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}$ を満たしており、ここでの導出は公式が整数以外でも成立することを示す一つの例と見ることもできます。

2. $f(x)={}^n\sqrt{x}$ の微分の導出
2節では定義に基づいた $f(x)={}^n\sqrt{x}$ の微分の導出について取り扱います。

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{{}^n\sqrt{x+h}-{}^n\sqrt{x}}{h}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{({}^n\sqrt{x+h}-{}^n\sqrt{x})(({}^n\sqrt{x+h})^{n-1}+({}^n\sqrt{x+h})^{n-2}({}^n\sqrt{x})+...+({}^n\sqrt{x})^{n-1})}{h(({}^n\sqrt{x+h})^{n-1}+({}^n\sqrt{x+h})^{n-2}({}^n\sqrt{x})+...+({}^n\sqrt{x})^{n-1})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h(({}^n\sqrt{x+h})^{n-1}+({}^n\sqrt{x+h})^{n-2}({}^n\sqrt{x})+...+({}^n\sqrt{x})^{n-1})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(({}^n\sqrt{x+h})^{n-1}+({}^n\sqrt{x+h})^{n-2}({}^n\sqrt{x})+...+({}^n\sqrt{x})^{n-1})}$
　　 $\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{1}{({}^n\sqrt{x+h})^{n-1}+({}^n\sqrt{x+h})^{n-2}({}^n\sqrt{x})+...+({}^n\sqrt{x})^{n-1}}$
　　 $\displaystyle = \frac{1}{n({}^n\sqrt{x})^{n-1}}$