数学検定準1級の問題の解説 #1

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以前に数学検定の2級について取り扱いましたが、準1級の問題に関しても簡単な解説を行っておければということで確認を行います。高校の数ⅢCレベルなので、数学的な記載をある程度前提とする文献を読むにあたっての基礎になるレベルだと思います。
問題は1次試験の下記を確認します。（2次試験は論述で基本事項の取り扱いにあたっては不向きのため、1次試験の内容だけを取り扱うこととしました。）

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_que_1ji.pdf

一応模範解答は下記で確認ができますが、答えだけだと理解にならないので解説も含めて行います。

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2020/j1q_ans_1ji.pdf

以下、問題1〜2について確認を行います。
・問題1
次の不等式を解け。
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} 2x$ ＞ $\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} (x^2-2x+3)$

Answer.
$\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} x$ は単調減少の関数であるため、不等式を満たすには $2x$ ＜ $x^2-2x+3$ が満たされれば良い。
$x^2-4x+3$ ＞ $0$
$(x-1)(x-3)$ ＞ $0$
よって上記を解いて、 $x$ ＜ $1$ , $x$ ＞ $3$ を得る。

解説.
対数関数の底が $\frac{1}{2}$ であるのでグラフは単調減少のグラフとなります。数式だけ見て考えると間違えやすいため、グラフなども同時に描きつつ考えるとミスが少なくなると思います。

・問題2
$3x+4y-20 = 0$ と $3x+4y+50 = 0$ の間の距離を求めよ。

Answer.
$\displaystyle (0, -\frac{25}{2})$ を $P$ とした時に、 $\displaystyle y = -\frac{3}{4}x+5$ への垂線の $\displaystyle y = -\frac{3}{4}x+5$ との交点を $H$ とすると、 $PH$ の長さを求めれば良い。

垂線の方程式は $\displaystyle y = \frac{4}{3}x-\frac{25}{2}$ となる。
$\displaystyle y = -\frac{3}{4}x+5$
$\displaystyle y = \frac{4}{3}x-\frac{25}{2}$
この際に上記の連立方程式を解いて $\displaystyle (x,y) = \left(\frac{42}{5},-\frac{13}{10}\right)$ を得る。求める距離は、 $\displaystyle \left(0,-\frac{25}{2}\right)$ と $\displaystyle \left(\frac{42}{5},-\frac{13}{10}\right)$ の距離であるので下記のように計算できる。
$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{42}{5}\right)^2 + \left(-\frac{25}{2}-\left(-\frac{13}{10}\right)\right)^2}$
　　 $\displaystyle = \sqrt{\left(\frac{42}{5}\right)^2 + \left(\frac{56}{5}\right)^2}$
　　 $\displaystyle = \frac{7}{5}\sqrt{6^2 + 8^2}$
　　 $\displaystyle = \frac{7}{5} \times 10$
　　 $\displaystyle = 14$

解説.
かなり複雑な式変形となりましたが結果はシンプルな形となりました。 $3:4:5$ の直角三角形の斜辺の長さが $\displaystyle 5+\frac{25}{2} = \frac{35}{2}$ であることを利用して、これに $\displaystyle \frac{4}{5}$ をかけて、 $14$ を求めることもできます。