sin、cos、tan以外の三角関数(sec、cosec、cot)｜三角関数の公式を完全に理解する #6

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三角関数の公式は数が多く大変なので、まとめて抑えるにあたってなるべくシンプルな導出について取り扱っていくシリーズです。
#5では「加法定理の図形的理解」について取り扱いました。

#6では $\sin$ や $\cos$ 、 $tan$ 以外の三角関数の $\sec$ 、 $cosec$ 、 $\cot$ について取り扱います。主に下記を参考にします。

以下当記事の目次になります。
1. 直角三角形による定義
2. 単位円による定義
3. まとめ

1. 直角三角形による定義
1節では直角三角形による三角関数の定義について確認します。

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( 三角関数 - Wikipedia より)
上図に対応する三角関数の定義はそれぞれ下記になります。

$\displaystyle \sin{\theta} = \frac{a}{h}$
$\displaystyle \sec{\theta} = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos{\theta}}$
$\displaystyle \tan{\theta} = \frac{a}{b} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{b}{h}$
$\displaystyle cosec {\theta} = \csc{\theta} = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin{\theta}}$
$\displaystyle \cot{\theta} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan{\theta}}$

それぞれ上から正弦(sine: サイン)、正割(secant: セカント)、正接(tangent: タンジェント)、余弦(cosine: コサイン)、余割(cosecant: コセカント)、余接(cotangent: コタンジェント)と呼びます。また、 $cosec$ を $\csc$ と表記することも多いので抑えておくと良いと思います

直角三角形を用いた定義について確認できたので1節はここまでとします。

2. 単位円による定義
2節では単位円による三角関数の定義について確認します。

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( 三角関数 - Wikipedia より)
上図の単位円上の点A $(x,y)$ に対応する三角関数の定義はそれぞれ下記になります。

$\displaystyle \sin{\theta} = y$
$\displaystyle \cos{\theta} = x$
$\displaystyle \tan{\theta} = \frac{y}{x}$
$\displaystyle \csc{\theta} = \frac{1}{y}$
$\displaystyle \sec{\theta} = \frac{1}{x}$
$\displaystyle \cot{\theta} = \frac{x}{y}$