加法定理の図形的理解｜三角関数の公式を完全に理解する #5

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三角関数の公式は数が多く大変なので、まとめて抑えるにあたってなるべくシンプルな導出について取り扱っていくシリーズです。
#1では加法定理とその導出について、#2では倍角の公式・半角の公式について、#3では和積の変換公式について、#4では三倍角の公式について取り扱いました。

#2〜#4の公式はどれも「加法定理」を元にしているため、#5では加法定理についてより理解ができるように「加法定理の図形的理解」について取り扱います。

以下当記事の目次になります。
1. 加法定理の図形的理解について
2. まとめ

1. 加法定理の図形的理解について
1節では「加法定理の図形的理解」について取り扱います。まず $\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b} - \sin{a}\sin{b}$ の導出について確認します。

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上図を用いて $\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b} - \sin{a}\sin{b}$ を示すことができます。また、以下では $\displaystyle \sin{a} = \cos{\left( a+\frac{\pi}{2} \right)}$ 、 $\displaystyle \cos{a} = \sin{\left( a-\frac{\pi}{2} \right)}$ を利用して $\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$ を導出します。

$\displaystyle \sin{(a+b)} = \cos{\left( a + \left(b + \frac{\pi}{2} \right) \right)}$
　　 $\displaystyle = \cos{a}\cos{\left(b + \frac{\pi}{2} \right)} - \sin{a}\sin{\left(b + \frac{\pi}{2} \right)}$
　　 $\displaystyle = \cos{a}\sin{\left(b + \frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{2} \right)} - \sin{a}\cos{\left(b + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}$
　　 $\displaystyle = \cos{a}\sin{b} - \sin{a}\cos{\left(b + \pi \right)}$
　　 $\displaystyle = \cos{a}\sin{b} - \sin{a}(-\cos{b})$
　　 $\displaystyle = \cos{a}\sin{b} + \sin{a}\cos{b}$
　　 $\displaystyle = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$

上記より、 $\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$ を導出することができました。また、 $\displaystyle \cos{(a + \pi)} = -\cos{a}$ も用いました。
・ $\displaystyle \sin{a} = \cos{\left( a+\frac{\pi}{2} \right)}$
・ $\displaystyle \cos{a} = \sin{\left( a-\frac{\pi}{2} \right)}$
・ $\displaystyle \cos{(a + \pi)} = -\cos{a}$
ここで用いた上記は単位円や三角関数を考えれば直感的に導出できると考えて良いと思われるので、ここまでの話により加法定理の $\sin(a+b) = \sin{a}\cos{b} + \sin{b}\cos{a}$ と $\cos(a+b) = \cos{a}\cos{b} - \sin{a}\sin{b}$ をそれぞれ直感的に示すことができたと思います。