三倍角の公式とその導出｜三角関数の公式を完全に理解する #4

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三角関数の公式は数が多く大変なので、まとめて抑えるにあたってなるべくシンプルな導出について取り扱っていくシリーズです。
#1では加法定理とその導出について、#2では倍角の公式・半角の公式について、#3では和積の変換公式を取り扱いました。

#4では三倍角の公式とその導出について取り扱います。
主に下記を参考に進めます。

以下当記事の目次になります。
1. $\sin{3a} = -4\sin^3{b}+3\sin{a}$ の導出
2. $\cos{3a} = 4\cos^3{b}-3\cos{a}$ の導出
3. まとめ

1. $\sin{3a} = -4\sin^3{b}+3\sin{a}$ の導出

1節では $\sin{3a} = -4\sin^3{b}+3\sin{a}$ の導出について取り扱います。導出にあたってはオーソドックスな進め方をするのであれば加法定理を適用した後に倍角の公式を用いれば示すことができます。

$\sin{3a} = \sin{a}\cos{2a} + \cos{a}\sin{2a}$
　　 $= \sin{a}(1-2\sin^2{a}) + \cos{a}(2\sin{a}\cos{a})$
　　 $= \sin{a} - 2\sin^3{a} + 2\sin{a}\cos^2{a}$
　　 $= \sin{a} - 2\sin^3{a} + 2\sin{a}(1-\sin^2{a})$
　　 $= \sin{a} - 2\sin^3{a} + 2\sin{a}-2\sin^3{a}$
　　 $= -4\sin^3{a} + 3\sin{a}$

・ $\sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \cos{a}\sin{b}$
・ $\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$
・ $\cos{2a} = 1 - 2\sin^2{a}$
・ $\cos^2{a}+\sin^2{a}=1$
などが用いられており少々複雑ですが、計算の練習にもなるのでそう考えると良いのかもしれません。

$\sin{3a} = -4\sin^3{b}+3\sin{a}$ の導出ができたので1節はここまでとします。

2. $\cos{3a} = 4\cos^3{b}-3\cos{a}$ の導出

2節では $\cos{3a} = -4\sin^3{b}+3\sin{a}$ の導出について取り扱います。こちらも加法定理を適用した後に倍角の公式を用いれば示すことができます。

$\cos{3a} = \cos{a}\cos{2a} - \sin{a}\sin{2a}$
　　 $= \cos{a}(2\cos^2{a}-1) - \sin{a}(2\sin{a}\cos{a})$
　　 $= 2\cos^3{a} - \cos{a} - 2\cos{a}\sin^2{a}$
　　 $= 2\cos^3{a} - \cos{a} - 2\cos{a}(1-\cos^2{a})$
　　 $= 4\cos^3{a} - 3\cos{a}$

・ $\sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \cos{a}\sin{b}$
・ $\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$
・ $\cos{2a} = 2\cos^2{a} - 1$
・ $\cos^2{a}+\sin^2{a}=1$
こちらの導出では上記が用いられています。 $\cos{a}$ の式で表すにあたって、 $\cos{2a} = 2\cos^2{a} - 1$ や $\sin^2{a}=1-\cos^2{a}$ などが意図的に用いられていることは着目しておくと良いと思います。