倍角の公式・半角の公式の式とその導出｜三角関数の公式を完全に理解する #2

f:id:lib-arts:20210213195311p:plain

三角関数の公式は数が多く大変なので、まとめて抑えるにあたってなるべくシンプルな導出について取り扱っていくシリーズです。
#1では加法定理とその導出について取り扱いました。

#2では「倍角の公式」・「半角の公式」の式とその導出について取り扱います。基本的には#1で取り扱った加法定理の式から導出が行えるので、#1と比較しながら抑えるのが良いのではと思います。
主に下記を参考に進めます。

大学受験数学三角関数/公式集 - Wikibooks

以下当記事の目次になります。
1. 倍角の公式の導出
2. 半角の公式の導出
3. まとめ

1. 倍角の公式の導出
1節では「倍角の公式」の導出について取り扱います。まず、倍角の公式は下記のように表すことができます。

$\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$
$\cos{2a} = 1-2\sin^2{a}$
$\displaystyle \tan{2a} = \frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$

以下、加法定理などを元に上記の導出について確認を行います。

・ $\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$ の導出

$\sin{2a} = \sin{(a+a)}$
　　 $= \sin{a}\cos{a}+\sin{a}\cos{a}$
　　 $= 2\sin{a}\cos{a}$

・ $\cos{2a} = 1-\sin^2{a}$ の導出

$\cos{2a} = \cos{(a+a)}$
　　 $= \cos{a}\cos{a}-\sin{a}\sin{a}$
　　 $= \cos^2{a}-\sin^2{a}$
　　 $= (\cos^2{a}+\sin^2{a})-2\sin^2{a}$
　　 $= 1-2\sin^2{a}$

・ $\displaystyle \tan{2a} = \frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$ の導出

$\displaystyle \tan{2a} = \frac{\sin{2a}}{\cos{2a}}$
　　 $\displaystyle = \frac{2\sin{a}\cos{a}}{1-2\sin^2{a}}$
　　 $\displaystyle = \frac{2\sin{a}\cos{a}/\cos^2{a}}{(1-2\sin^2{a})/\cos^2{a}}$
　　 $\displaystyle = \frac{2\sin{a}/\cos{a}}{(\cos^2{a}-\sin^2{a})/\cos^2{a}}$
　　 $\displaystyle = \frac{2\sin{a}/\cos{a}}{1-\sin^2{a}/\cos^2{a}}$
　　 $\displaystyle = \frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}$

上記のように倍角の公式は加法定理などを用いて示すことができます。

2. 半角の公式の導出

2節で「半角の公式」の導出について取り扱います。まず、半角の公式は下記のように表すことができます。

$\displaystyle \sin^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1-\cos{a})$
$\displaystyle \cos^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1+\cos{a})$
$\displaystyle \tan^2{\frac{a}{2}} = \frac{1-\cos{a}}{1+\cos{a}}$

以下、倍角の公式を元に上記の導出について確認を行います。

・ $\displaystyle \sin^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1-\cos{a})$ の導出

$\displaystyle \cos{a} = \cos{\left( \frac{a}{2}+\frac{a}{2} \right)}$
　　 $\displaystyle = 1-2\sin^2{\frac{a}{2}}$
上記を $\displaystyle \sin^2{\frac{a}{2}}$ に関して整理すると、 $\displaystyle \sin^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1-\cos{a})$ となる。

・ $\displaystyle \cos^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1+\cos{a})$ の導出

$\displaystyle \cos{a} = \cos{\left( \frac{a}{2}+\frac{a}{2} \right)}$
　　 $\displaystyle = 1-2\sin^2{\frac{a}{2}}$
　　 $\displaystyle = 2\cos^2{\frac{a}{2}}-1$
上記を $\displaystyle \cos^2{\frac{a}{2}}$ に関して整理すると、 $\displaystyle \cos^2{\frac{a}{2}} = \frac{1}{2}(1+\cos{a})$ となる。

・ $\displaystyle \tan^2{\frac{a}{2}} = \frac{1-\cos{a}}{1+\cos{a}}$ の導出

$\displaystyle \tan{\frac{a}{2}} = \frac{\sin^2{\frac{a}{2}}}{\cos^2{\frac{a}{2}}}$
　　 $\displaystyle = \frac{\frac{1}{2}(1-\cos{a})}{\frac{1}{2}(1+\cos{a})}$
　　 $\displaystyle = \frac{1-\cos{a}}{1+\cos{a}}$