数学検定2級の過去問の解説 #3

Math

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数学の再学習にあたって、目安とすると良い数学検定2級の過去問の解説を行っていきます。

https://www.su-gaku.net/suken/wp-content/themes/su-ken/pdf/support/past_question/2q_que_1ji.pdf

#1では問題1〜5について、#2では問題6〜10について取り扱いました。

https://lib-arts.hatenablog.com/entry/suken2

#3では問題11〜15について確認を行います。

 

・問題11
次の方程式を解け。
\log_{2}(x+1)=3

方針.
対数をそのまま取り扱うとややこしいので、2^{\log_{2}x}=xであることを利用して変形するのが良いかと思います。一応\log_{2}xの意味合いとしては、2を\log_{2}x乗するとxなので、元々の定義に沿った変形となります。

Answer.
\log_{2}(x+1)=3が成立すれば2^{\log_{2}(x+1)}=(x+1)=2^3も成立する。
x+1=8を解いて、x=7を得る。

解説.
対数の問題はややこしいので、必ず定義に立ち返り、指数関数の理解も用いながら考えるのが良いかと思います。指数関数と対数関数は逆関数の関係なので、同時に取り扱うことでミスを減らすことができます。

 

 ・問題12
二つのベクトル\vec{a}、\vec{b}のなす角が60^{\circ}で、|\vec{a}|=3、|\vec{b}|=4のとき、内積\vec{a} \cdot \vec{b}を求めよ。

方針.
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}を用いて解く基本問題です。

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内積のイメージは上記の図でつかんでおくと良いかと思います。

Answer.
\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{60^{\circ}}=3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6

解説.
内積については色々と応用も多いので、基本問題を中心になるべく演習を行い、慣れておくのが良いかと思います。

 

・問題13
初項が3、公比が2である等比数列の第5項を求めよ。

方針.
初項をa、公比をrとした時の等比数列の一般項がa_n = ar^{n-1}で表すことができることから答えを求めれば良いです。

Answer.
一般項をa_nとすると、a_n=3 \cdot 2^{n-1}と表すことができる。
n=5を代入して、a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 48を得ることができる。

解説.
基本問題なので、試験であればこれは必ず解きたい問題です。数列を考える際は等差数列、等比数列は基本となるので必ず抑えておきましょう。

 

・問題14
3x^3+2x^2+7をx+2で割る時の商と余りを求めよ。

方針.
筆算の要領で解けば良い。

Answer.
3x^3+2x^2+7=(3x^2-4x+8)(x+2)-9のため、商は3x^2-4x+8、余りは-9

解説.
二桁以上の割り算で用いる筆算を用いれば同様に解くことができます。初見だと難しい印象を受けるかもしれないので、初見では解けなくても問題ないと思います。


・問題15
f(x)=x^3-3xの導関数f'(x)と微分係数f'(2)を求めよ。

方針.
基本問題のため、微分を公式通り行えば答えを導出することができる。

Answer.
f'(x)=3x^2-3、f'(2)=12-3=9。

解説.
基本問題のため、必ず解きたい問題です。できなかった場合は微分の基本を繰り返し演習しましょう。


・まとめ
問題14以外はどれも基本問題だったので、試験などでは必ず解きたい問題です。全体を振り返るに、問題9と問題10が難しく、問題7と問題14がその次に難しく、それ以外は必ず解きたい問題である印象を受けました。合格点が一次試験は70％程度のようなので、問題7、9、10、14以外が解ければ合格点のようです。

↓以下簡単な宣伝ですが、教科書的な解説がある方が望ましい方は下記を確認してみてください。数学検定2級〜準1級の話題を可能な限りシンプルにまとめました。