類題を用いた関数・微分の問題演習｜高校数学の演習を通して理解するニューラルネットワーク #7

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当連載は、高校数学の演習を通して機械学習のアルゴリズムの一つであるニューラルネットワークを理解しようというものです。連載の経緯につきましては#1にまとめましたので下記をご覧ください。

#1~#6では6題の例題の解説とそれをベースにした回帰分析の学習の流れとモデルの数式のMLPやCNNへの拡張について取り扱いました。

#6までで解説的な話題は一通り取り扱えたと思いますが例題だけだとしっくりこないと思いますので、#7以降では問題演習について取り扱っていければと思います。

Math Exercises
以前セミナーを行った際に上記のサポートページを作っていただいたので、こちらから何題か抜粋しつつ足りないところは改めて作成できればと思います。
以下、目次になります。

1. 関数の定義に関する問題演習
2. 微分の定義に関する問題演習
3. まとめ

1. 関数の定義に関する問題演習

Math Exercises (Exercise 2)

より、1~3を取り扱えればと思います。

・Q.01 $f(x)=x^2−2x+1$ において、 $f(0)$ , $f(1)$ , $f(a)$ , $f(x+h)$ を求めよ。

・Q.02 $f(x)=x^3−9x^2+3x−1$ において、 $f(0)$ , $f(1)$ , $f(a)$ , $f(x+h)$ を求めよ。

・Q.03 $f(x)=x^2+(a−2)x+a^2+5$ において、 $f(0)$ , $f(1)$ , $f(a)$ , $f(x+h)$ を求めよ。

A.01

$f(0) = 0^2−2×0+1 = 1$

$f(1) = 1^2−2×1+1 = 1-2+1 = 0$

$f(a) = a^2−2a+1$

$f(x+h) = (x+h)^2−2(x+h)+1$

A.02

$f(0) = 0^3−9×0^2+3×0−1 = -1$

$f(1) = 1^3−9×1^2+3×1−1 = 1-9+3-1 = -6$

$f(a) = a^3−9a^2+3a−1$

$f(x+h) = (x+h)^3−9(x+h)^2+3(x+h)−1$

A.03

$f(0) = 0^2+(a−2)×0+a^2+5 = a^2+5$

$f(1) = 1^2+(a−2)×1+a^2+5 = 1+(a-2)+a^2+5 = a^2+a+4$

$f(a) = a^2+(a−2)×a+a^2+5 = a^2+a^2-2a+a^2+5 = 3a^2-2a+5$

$f(x+h) = (x+h)^2+(a−2)(x+h)+a^2+5$

解説.

基本的には関数の定義さえおさえていれば解ける問題です。定義なので、式変形の流れはある程度覚えてしまって良いものだと思います。何度も繰り返し実践してみて違和感なく手が動くまで演習すると良いかと思います。

2. 微分の定義に関する問題演習

Math Exercises (Exercise 3)

より、1~2と基本的な関数として $f(x) = x$ について取り扱えればと思います。また、発展問題として $(x^n)' = nx^(n-1)$ の導出を一題追加しました。

Q.04 $f(x) = x^2$ の微分を定義に従って求めよ。

Q.05 $f(x) = x^3$ の微分を定義に従って求めよ。

Q.06 $f(x) = x$ の微分を定義に従って求めよ。

Q.07 $f(x) = x^n$ の微分を定義に従って求めよ。【発展】

A.04

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{(x+h)^2 - x^2} {h}} = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{2xh + h^2} {h}} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$

A.05

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {\large \frac{(x+h)^3 - x^3} {h}} = \lim_{h \to 0} {\large \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3} {h}} = \lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2) = 3x^2$

A.06

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{(x+h) - x} {h}} = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{h} {h}} = \lim_{h \to 0}(1) = 1$

A.07

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {\large \frac{(x+h)^n - x^n} {h}} = \lim_{h \to 0} {\large \frac{nx^{n-1}h + ...} {h}} = \lim_{h \to 0}(nx^{n-1}+h(...)) = nx^{n-1}$