Pythonで実装する微分②（三角関数）｜Pythonで実装する高校数学 #4

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連載の経緯と多項式関数と三角関数の概要とPython実装は#1で、指数関数、対数関数の概要とPython実装は#2でまとめました。

#3以降では微分について取り扱います。#3では多項式関数の微分について取り扱いました。

#4では三角関数の微分となります。
以下目次になります。
1. 三角関数の微分の公式と導出
2. Pythonで実装する三角関数の微分
3. まとめ

1. 三角関数の微分の公式
#3でも触れましたが、微分の定義式は下記の式で表すことができます。
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
#3ではこの式を多項式関数にあてはめて考えました。
$f'(x) = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{(x+h)^2 - x^2} {h}} = \lim_{h \to 0} {\Large \frac{2xh + h^2} {h}} = \lim_{h \to 0}(2x+h) = 2x$
上記は $f(x)=x^2$ の微分の導出になっています。多項式関数に関しては $(x+h)^n$ を二項定理で展開し計算していくことで、 $(x^n)'=nx^{n-1}$ を導出することができます。これを多項式の微分における公式として把握することができます。
今回は三角関数の微分の微分について確認します。公式は下記のようになっています。
$(cos{x})' = \frac{cos(x+h) - cos{x}}{h} = -sin{x}$
$(sin{x})' = \frac{sin(x+h) - sin{x}}{h} = cos{x}$
このように三角関数の微分については公式があります。公式の導出については若干トリッキーなので省略しますが、定義に基づいて導出すると $cos{x}$ の微分については $-sin{x}$ 、 $sin{x}$ の微分については $cos{x}$ となっていることに注意です。
2節ではPythonでの実装を通して三角関数の微分について確認してみます。

2. Pythonで実装する三角関数の微分
2節ではPythonで三角関数の微分について確認していきます。まずはcosについて確認していきます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.01)
y = np.cos(x)

plt.plot(x,y)
plt.show()

cosのグラフは上記のようにすることで描くことができます。実行結果は下記のようになります。

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上記において、cosが $x=0$ で値1を取り、周期が $2\pi$ であることが確認できます。
次に下記のようなコードを実行することで接線(tangent line)を引くことができます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.01)
y = np.cos(x)
plt.plot(x,y,label="cos(x)")
x_ = np.arange(0,4,0.01)

x_pos = [2., 3.14]
for xpos in x_pos:
f = np.cos(xpos)
f_add_h = np.cos(xpos+0.01)
slope = (f_add_h - f)/0.01
tangent_line = slope*(x_-xpos)+np.cos(xpos)
plt.plot(x_,tangent_line,label="tangent_line_"+str(xpos))

plt.legend()
plt.show()

実行結果は下記のようになります。

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cosについて確認できたので次にsinについて確認していきます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.01)
y = np.sin(x)

plt.plot(x,y)
plt.show()

sinのグラフは上記のようにすることで描くことができます。実行結果は下記のようになります。

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sinが $x=0$ で値0を取り、周期が $2\pi$ であることが確認できます。
また、cosの時と同様に下記のようなコードを実行することで接線(tangent line)を引くことができます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.01)
y = np.sin(x)
plt.plot(x,y,label="sin(x)")
x_ = np.arange(0,4,0.01)

x_pos = [1.57, 2., 3.14]
for xpos in x_pos:
f = np.sin(xpos)
f_add_h = np.sin(xpos+0.01)
slope = (f_add_h - f)/0.01
tangent_line = slope*(x_-xpos)+np.sin(xpos)
plt.plot(x_,tangent_line,label="tangent_line_"+str(xpos))

plt.legend()
plt.show()